概述
上节讲到了图像分类以及kNN算法，kNN用作图像分类效果并不好。效果更好的分类算法是神经网络和卷积神经网络，它主要包括2部分
1、评分函数score function，把原数据映射为一个得分。
2、损失函数loss function，衡量预测得分和真实标签之间的差距。
最终的优化问题是最小化损失函数。
图像到标签得分的参数映射
首先定义图像像素数据到各个类别得分的映射。定义几个符号，训练集为$x_i \in R^D$，训练集的每个元素有个对应的标签$y_i$，$i=1 \dots N$，$y_i \in 1 \dots K$。即训练集有$N$个数据，维度为$D$，每个训练数据对应一个标签$y_i$，标签总共有$K$类。以CIFAR-10为例，$N=50,000, D=32 \times 32 \times 3 =3072, K=10$。定义评分函数$f: R^D \mapsto R^K$
线性分类器
一个常用的映射函数为
$$
f(x_i,W,b)=Wx_i+b
$$
$x_i$是图像数据，展开为一个列向量[D x 1]。矩阵$W$（维度[K x D]）和向量$b$（维度[K x1])是函数的参数，分为被称为权重和偏置。
需要注意：
1、$Wx_i$得到的乘积是个列向量[K x 1]，K个值对应K类。
2、优化的目的就是让上面函数的得分尽量和真实标签的值接近。
3、训练结束后，可以丢弃训练数据，只使用学到的参数值即可预测。
4、预测时只是矩阵的相乘和相加，速度很快。
解释线性分类器：
线性分类器是计算图像所有像素值的加权和，图像包括3个颜色通道。根据我们队权重（正/负）的设置，映射函数可以喜好或讨厌某一类颜色。例如，对于“船”这个类别，蓝色（海水）可能会在图像占比较大比例。这样在分类“船”时，蓝色对应的通道的可能会有比较多的正权重，而红色和绿色通道可能会有比较多的负权重。
下面是一个图像分的例子：
可以看出，更加倾向认为是一只狗。
类比高维空间
图像被展开为高维空间的列向量，可以把图像当做高维空间的一个点（例如CIFAR-10的中图像是3072维度空间的一个点）。线性分类函数就是来划分这个高维空间，假设这个高维空间是2维的，可视化后如下:
上图表示图像空间，每个点都是一个图像。矩阵$W$的每一行都是一条直线，控制其方向，$b$控制平移，直线上的点对应的得分为0，
线性分类器看做模板匹配
权重矩阵$W$的每一行可以看做匹配某一类的模板，每一类的打分就是图像和对应类别模板的乘积。下图是CIFAR-10训练后的模板的可视化图像：
可以看出“船”的模板包含很多蓝色的像素，这样会给蓝色通道像素分值比较高。
偏置技巧
可以把上面公式中，后面加的权重放到前面的矩阵乘法中，技巧就拓展矩阵多出一列，输入数据多出一维，最终公式变为：
$$
f(x_i,W)=Wx_i
$$
通过下图一看便知
数据预处理
图像的像素范围是[0…255]，但是在机器学习中经常要将特征归一化。经常用到的是把数据中心化center your data，通过减去每个特征的均值来做到的。例如减去像素的均值，可以是范围变为[-127…127]。有时还做进一步处理，使范围变为[-1,1]。0均值中心化非常重要，学了梯度下降就可以理解这一点了。
损失函数
前面通过评分函数来计算属于每一类的得分。这里通过损失函数来计算对得分的满意程度。损失函数又称作代价函数或目标。结果越好，损失函数值将越低，结果越差，损失函数的值将越高。
多类SVM loss
这里定义SVM的loss函数。SVM loss会使正确类别的得分比错误类别的得分至少高$\Delta$。用$s$代表分数，第i个图像对应第j类的得分$s_j=f(x_i,W)_j$，那么多类别SVM对于第i个图像的loss为
$$
L_i=\sum_{j \neq y_i}max(0, s_j-s_{y_i} + \Delta)
$$
一个例子
假设有3个类别，对应的得分$s=[13, -7, 11]$，真实类别是$y_i=0$，$\Delta=10$。损失函数有2项
$$
L_i = max(0, -7 - 13 + 10) + max(0, 11 - 13 + 10)
$$
上式中第一项为0，因为-7分值和真实得分相差20，大于$\Delta$；，第二项就不为0了，因为11分值和13只相差2，所以Loss函数就不为0了。
这一节是将线性分类器，所以Loss函数有以下形式
$$
L_i = \sum_{j\neq y_i} \max(0, w_j^T x_i - w_{y_i}^T x_i + \Delta)
$$
下图就是多类别SVM loss可视化图。
上面损失函数有叫做hinge loss，形式为$max(0,-)$，有时会使square hinge loss（或L2-SVM）来代替，形式为$max(0,-)^2$。
正则化
上面提到的loss函数有bug。设想以下，假设假设评价函数能正确预测所有分类，且损失函数$L_i=0$；这样权重并不是唯一的。因为如果一组权重$W$符合这样的要求，那么$\lambda W$也符合这样的要求($\lambda >1$。如果得到评价函数的值不为0，那么评价函数的值也会放大$\lambda$倍。
可以通过对$W$加上些限制来移除上面的不确定性，得到一个唯一确定的权重系数矩阵。一般是通过正则化惩罚来实现$R(W)$来实现。最常用的惩罚是 $L2$ 范数：
$$
R(W)=\sum_k \sum_l W_{k,l}^2
$$
这个公式中不包含数据，是和数据无关的的loss。这样$L_i$就由2项组成了:data loss，regularization loss。
$$
L = \underbrace{ \frac{1}{N} \sum_i L_i }_\text{data loss} + \underbrace{ \lambda R(W) }_\text{regularization loss} \\
$$
展开后形式如下:
$$
L = \frac{1}{N} \sum_i \sum_{j\neq y_i} \left[ \max(0, f(x_i; W)_j - f(x_i; W)_{y_i} + \Delta) \right] + \lambda \sum_k\sum_l W_{k,l}^2
$$
上式中$\lambda$是一个超参数，通过使用交叉验证来设置它。
引入正则化惩罚还可以带来其他许多性质，后面章节会提到。例如，在SVM中引入正则化后就有了最大间隔max margin这一性质，详细参考cs229。
正则化一个很好的性质是惩罚了大的权重值，这一可以提高模型泛化能力。限制权重大小后，没有那一维数据可能单独对评价函数带来很大影响。例如输入数据$x=[1,1,1,1,1]$，有两组权重$w_1=[1,0,0,0], w_2=[0.25,0.25,0.25,0.25]$，内积相等$w_1^Tx=w_2^Tx=1$。但是L2惩罚不同，对于$w_1$是1.0，而对于$w_2$是0.25,因此$w_2$优于$w_1$。直观上看，$w_2$更小，却值更加分散，这样输入数据的所有维度都会对评价函数有影响，而不是仅仅几个维度数据主要决定评价函数。因此，会有更好的泛化性能，减小过拟合。
需要注意，正则化只是针对权重$W$，而不针对偏差$b$，因为偏差对输入数据各个维度大小没有影响影响，它只是控制分类器的平移。
实践注意事项
设置$\Delta$：$\Delta$这个超参数一个常用的值是$\Delta = 1.0$。超参数$\Delta$和$\lambda$看上去是不同的超参数，实际上它们有同样的功能：平衡目标函数中的data loss和regularization loss。权重$W$的幅度直接影响评价函数的得分，例如放大权重幅度，得分也会变大，不同类别之间的得分差异也就变大了。$\Delta$是控制不同类别之间的得分差异，其他小可以通过放大或缩小权重幅度来控制。实际上权重的平衡是允许幅度有多大变化（通过$\lambda$来控制）。
和二项SVM关系：二项SVM是多项SVM的一个特例。
在原始形式中优化：如果以前学过SVMs，可能会听过核方法、对偶、SMO算法等。在神经网络中，往往使用目标函数的原始形式。许多模板函数在技术上不可分，但是实际中可以使用次梯度。
其他形式的SVM：本节的多类SVM只是一种，还有其他形式。
Softmax分类器
除了SVM分类器外，还有一种常用的叫做Softmax分类器，它是二元逻辑回归泛化到多元的情况。Softmax分类器的输出不是得分，而是对应类别的概率。Softmax分类器中，映射函数$f(x_i; W) = W x_i$并没改变，把得分当做未归一化的对数概率，把hinge loss替换为交叉熵 loss:
$$
L_i = -\log\left(\frac{e^{f_{y_i}}}{ \sum_j e^{f_j} }\right) \hspace{0.5in} \text{or equivalently} \hspace{0.5in} L_i = -f_{y_i} + \log\sum_j e^{f_j}
$$
其中,$f_j$表示第j类的得分。整个数据集的loss是$L_i$加上正则化项$R(W)$。函数$f_j(z) = \frac{e^{z_j}}{\sum_k e^{z_k}}$叫做softmax函数，它把得分向量转换为概率向量。
信息论角度：一个真实分布$p$和气估计分布$q$的交叉熵定义如下：
$$
H(p,q)=-\sum_xp(x) \log q(x)
$$
Softmax分类器是最小化估计的分布（$q = e^{f_{y_i}} / \sum_j e^{f_j}$）和真实分布（$p=[0,…,1,…,0]$，只有第$yi$个为1）之间交叉熵。交叉熵可以看做熵和相对熵的和相对熵的和**$H(p,q) = H(p) + D{KL}(p||q)$，真实分布$p$**的熵是零，所以最小化交叉熵等价于最小化相对熵。
概率解释：公式
$$
P(y_i \mid x_i; W) = \frac{e^{f_{y_i}}}{\sum_j e^{f_j} }
$$
已知输入数据$x_i$和权重参数$W$，上式可以看做对应类别$y_i$的归一化概率。评价函数的输出向量没有归一化，直接当做对数概率的输入，之后用对数概率除以所有概率的和来进行归一化，这样概率的和为1。从概率论角度看，我们再最小化正确分类的负概率（即最大化正确分类的概率），这是最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）。这样损失函数中的正则化部分$R(W)$可以看过权重矩阵$W$的高斯先验，这样最大似然估计变成了最大后验概率估计（Maximum a posteriori）。
实践问题：数值稳定：当写代码实现Softmax函数时，会涉及到$e^{f_{y_i}}$和$\sum_j e^{f_j}$，因为指数的原因，这些数值可能会非常大。除以很大的数值可能会引起数值不稳定，可以使用归一化的技巧。在分子和分母同时乘以一个常数，分数的数值不变：
$$
\frac{e^{f_{y_i}}}{\sum_j e^{f_j}}
= \frac{Ce^{f_{y_i}}}{C\sum_j e^{f_j}}
= \frac{e^{f_{y_i} + \log C}}{\sum_j e^{f_j + \log C}}
$$
$C$通常设为$\log C = -\max x_if_j$，这样分数向量中最大的值为0。
SVM vs. Softmax
下面图像可以帮助对比两者区别
Softmax分类器计算每类的概率：SVM计算每类的得分，这样不易直接解释。Softmax计算每类的概率。超参数$\lambda$控制概率的集中或离散程度。
实践中，SVM和Softmax常常是相似的：SVM和Softmax性能差别不大，不同的人对哪种效果更好持不同的观点。和Softmax相比，SVM更加局部化（local objective），它只关心小于间隔$\Delta$的部分，例如$\Delta = 1$，那么分值[10, -100, -100]和[10, 9, 9]对于SVM来说，其loss函数值相同；但是对于softmax就不同了。Softmax的loss函数只有在完全正确情况下才会为0。
总结
1、定义了评价函数，线性函数的评价函数依赖权重$W$和偏置$b$。
2、和kNN使用不一样，参数化方法训练时间比较久，预测只是矩阵相乘。
3、通过一个trick，可以把偏置加入到矩阵相乘中。
4、定义了loss 函数，介绍了常用的SVM和Softmax loss。对比了两者的区别。
如果求解最优的参数，这设计到优化，是下一节讲解的问题。